三角関数






「 絵が下手なんだが、これが 宇宙、 この世界のすべて だと思ってくれだぜ☆
 めんどくさいんで 宇宙は箱に入っているものとした☆」


「 そんなことより 仕事を探しなさいよ!
 数学なんか ヒマな金持ちがやっていればいいのよ! あんたがやるべきではないのよ!」


「 そういう世界は要らないんで……☆」





「 で、ギリシャ人が居たとしよう☆ 場所はエジプトのアレクサンドリアとしようか☆」


「 雰囲気出ないな☆」




1. タンジェントが一番重要☆(^~^)




「 ここで、この針葉樹の高さを測りたいとしよう☆」





「 木に登ってメジャーを垂らせばいいのよ! 5m よ!」


「 猿にメジャーの端を持たせようぜ☆」


「 まあ、待てだぜ☆」





「 針葉樹のてっぺんを見上げると、首の角度が 22.619864°ぐらいだったとしよう☆」


「 どんなに精度の高い首なのよ!」





「 エジプト人の目ん玉は 地表にあるのか☆?」


「 ある☆」





「 ここで、22.619864 のタンジェントは だいたい 0.416666 だと覚えておいてくれだぜ☆」





「 そして木まで歩いて行くと 12m だったとしよう☆」





「 タンが 0.4 で、木までの距離が 12m と分かれば☆」





「 だいたい 0.4 × 12 の掛け算を暗算して 4.8m だぜ☆
 だいたい 5m で合ってるだろ☆ 木に登らなくても分かる☆ 終わり☆」


「 めんどくさがらずに 木に登りなさいよ!」


「 何のために 木に登るんだぜ☆?」




「 で、タンジェントって何か、なんだが、
 角度でもないし、高さでもない☆」





「 地面を 1 としたときの、割合が タンジェント だぜ☆
 確かに 角度 でタンジェントは決まるが、角度ではない☆
 そして 高さ ではあるんだが、長さではない☆ 地面と比較しての 比 だぜ☆」





「 角度が 0 なら、高さなんか無いんで タンジェントも 当然 0 だぜ☆」





「 角度が 45° なら、地面と高さも同じなんで、 タンジェントも 当然 1 だというのが 見えるだろ☆
 計算しなくても 見えてくる ようになれだぜ☆」


「 じゃあ 22.5° なら タンジェントは 0.5 なのかだぜ☆?」





「 それだと 世界は 角度に沿って 曲がっている☆」


「 うーむ、そうか☆」





「 89°でも タンジェントは 57 ちょいで たいしたことないんだが、☆
 では、90°なら タンジェントは いくつになるだろうか☆?」


「 永遠に伸びていってるんじゃないの? 数にならないわよ」





「 言うのを忘れていたが、91° なら タンジェントは -57 ちょい だぜ☆
 1と-1 より、57と-57 の方が近くにあるのは、 数直線 に慣れていると 変わった感じがするかもしれない☆」





「 これはあれよ、プラスの無限大と、 マイナスの無限大が あるってやつよ。
 数にできないから、答えは無い、でもいいけど、 くやしいから そういう風に言うことにしてるのよ」





「 あとは、当然 紙を机の上で時計回り すると地面は傾くが、
 傾いた地面を 0° と考えしまえば 構わず タンジェントは使える☆(^~^)」





「 例えば 2辺の長さが1の直角三角形の斜辺は 1.414213…ぐらいなんだが……☆」





「 垂直の壁で、45°な感じなら 計算しなくても 同じと分かる☆
 だから何なのか、と言いたい気持ちもわかるが……☆」





「 問題は いつだって 補助線を消した形で 登場する☆
 考えれば分かるだろ、省略、で なんの説明もないこともある☆」


「 で、 45° のタンジェントしか 知らなかったら クイズを出す方も おもんないんで、
 あと もう2個 タンジェントを覚えておけ、 と言う形で 問題文が作られる☆」





「 その1つは ここ☆
 学校で 買わされる 2枚の 三角定規とかは、問題だすぞ、の前振りだぜ☆」


「 0.577350…って、(√3)/3 よね」


「 ひとまず タンジェントの話題は終わるぜ☆
 暗記で覚える三角比が 何なのか、という話しに進むぜ☆」








寄り道: 暗記で覚えた数字は何なのか☆(^~^)?



「 (√3)/3 を 暗記させられるの、ひどくない?」


「 べつに、0、1、2、3、4 しか出てこないんだがな☆」





「 これを約分すると☆」





「 なんか ばらばらな感じになる☆
 分母を消しやすい利点はあるが、計算速度 を取っているものを覚えさせられるので
 √3 って何だとか、分母の2は何だとか 分けわからん数字を 覚えさせられる☆
 これを暗記するのは 問題を解くにはいいが、 なんとも 数のしくみについて 踏み込みが浅い話しだぜ☆」





「 実数を使っていいなら こんな感じ☆」


「 0、1、2、3、4 って、何で並んでるの?」


「 それは簡単だぜ☆」





「 宇宙は、4つに分割できると 考えてくれだぜ☆」





「 量だけ考えて欲しいんだが、0~4の 5パターンがあるだろ☆」


「 ルートって、正方形の1辺よね。 ルートが出てくる数式ということは、正方形があるんでしょ」


「 確かに ピタゴラスの定理に出てくる量は 正方形 しか出てこない☆
 ただし ここではもっと簡単に 2乗 と考えてほしい☆
 つまり どういうことかというと、

 1×1、 2×2、 3×3、 4×4、 5×5、 6×6、 7×7、 8×8、 9×9、 10×10
 を通る場所、九九の表の対角線 の話しなのだ、といったことが重要だぜ☆
 もちろん 1.5×1.5 とかもOK☆」


「 だから それを 正方形 と言う☆」





「 x × x = 4 となるような x を √4 と呼ぶことにしたのが 平方根だから、☆
 √0、 √1、 √2、 √3、 √4 というのは
 正の整数 0、1、2、3、4 の1辺が欲しい、と言ってるには違いないが、もう少し 踏み込んでみよう☆」





「 √1 ~ √4 で、1つの 0~1 に なっている感覚が 分かるだろうか☆?
 ここに 0~1 メーターがある☆」




三角比は累乗と平方根の世界☆(^~^)



「 0~1 なら 幅1 だけど、 1~4 を 幅1 と見て、何が嬉しいの?」


「 例えば、
 1×1、 2×2、 3×3、 4×4、 5×5、 6×6、 7×7、 8×8、 9×9、 10×10
 が、ある意味で 等間隔のようなものだ、
 と言ってしまえるとすれば どうだろうか☆」


「 例えば、
 √1、 √2、 √3、 √4 ……、といった書き方で 数 を直観しにくくなっているのなら、
 いっそのこと ルートを外してしまえばいい☆ 九九の表ならそれができる☆
 やってみよう☆」





「 0と 1が、0~1 と言うのは そのまんま だが……☆」





「 1と 4も、0~1 と言おうぜ☆ そういうルールにする☆
 水色のとこは、濃い青色も含めて4マスある☆ 絵でうまく描けないが分かれ☆」





「 4と 9も、その幅が 0~1 と言おうぜ☆
 違うだろ、と思われるかもしれないが、スッペリヤ(Superior)なんだぜ☆
 つまり わたしたちの世界の2乗は、上(Superior)の世界では 1ずつ になっている、
 そういう スッペリヤがあるという ルールにしろだぜ☆」





「 あると言われてしまえば、あるしかないが☆」


「 おっと、4~9 が出てきたところで 縮尺について 注意だぜ☆」





「 最初は 1:4 だった比率も、 4:9、 9:16 と どんどん 濃い青の部分 の方が大きくなる☆」





「 こう描いた方が分かりやすいか……☆」





「 分かった、分かった☆ もういいぜ☆」





「 ちゃんと 全部イメージしろだぜ☆」














「 さらに もっと細かく説明したい☆」





「 面積1の 正方形の1辺は √1 と決めたのだった☆」





「 で、√1 と √4 の間には √2 と √3 があるんだが、☆
 方眼紙で説明するのは むずかしい と思う☆」





「 そこで、 √2 と √3 は ゴロで覚えるしかない☆
 ここは暗記ポイントだぜ☆」


「 他のところは 小数第一位 ぐらいなら 計算で出せる☆
 そのために わたしが筆算して まとめた 暗記用の数字が……☆」





「 22、15、11、9、8、7、6、5 という ナンバーだぜ☆
 もともと 曲線ものもを、 人の頭は 直線で考えた方が覚えやすいから作ったもので、数学的には正しくない☆
 ただ、暗記で 平方根の小数点第二位まで 誤差0.05前後 で概算するための数字だぜ☆
 使い方を説明しよう☆」





「 図の見方を説明するのが めんどくさいが、逆L字に 1~100まで 平方根を詰めていくとするぜ☆」





「 こんな順で マスを読むようにしたが、意味はない☆」





「 なんか こんな感じに埋める☆ 左下の 1 が スタート地点で、 1、1.41、1.73、2、2.22、2.44、2.66、2.88、3…という順で読んでいく☆
だから、√8 を暗算で概算するには、2×2=4、3×3=9 の間にあると探索して、
8-4=4 を出す☆ 4に魔法の数字22を掛けた88を、小数点のうしろに付けて2.88だぜ☆」


「 √8 は、庭には呼ぶな(2.828427)だぜ☆」


「 誤差は 0.051 ぐらいだな☆ だいたい使えるだろ☆」





「 本当の平方根の小数点第二位以下切捨 と比べると……☆」





「 小数点第一位までは保証☆」


「 こんなん覚えるぐらいだったら、√3/3 を暗記した方がマシよ!」


「 √1 ~ √100 までの100個の平方根の 小数点第一位までは もう大丈夫だよな☆?」


「 覚えたくなーい!」


「 √75 なら、64と81の間で 75-64=11 まで出して、
  8の魔法の数字 6 を掛けて 8.66 まで すらっと出せだぜ☆ √75=8.66☆ 誤差0.06以内☆」


「 いーやーだー!」




さらに覚えておきたい数字☆(^~^)


「 さらに覚えておきたい数字を紹介する☆」





「 さっきと おなじく 100マス の正方形を使えばOK☆」


「 ピタゴラスの定理では、正方形が3つ出てきたことを思い出してほしい☆
 a+b=c☆
この c を100に固定したと思って 見てくれだぜ☆」





「 例えば a が シェアを1つ奪えば b は 99 だぜ☆」





「 だから この図は、ピタゴラスの定理を 見ていると思ってくれだぜ☆」


























「 ここで出てきた数は、
 0、
 1、
 4、
 9、
 16、
 19、
 25、
 36、
 49、
 51、
 64、
 75、
 81、
 84、
 91、
 96、
 99、
 100 だぜ☆
 ルートを調べてみようぜ☆」


「 概算も使ってみようぜ☆
 √  0 = 0
 √  1 = 1
 √  4 = 2
 √  9 = 3
 √ 16 = 4
 √ 19 = 4.35 (16と25の間で、19-16=3、4の魔法の数字11に3掛けて33) = だいたい4.33 (本当は4.35)
 √ 25 = 5
 √ 36 = 6
 √ 49 = 7
 √ 51 = 7.14 (49と64の間で、51-49=2、7の魔法の数字7に2掛けて14) = だいたい7.14 (合ってる)
 √ 64 = 8
 √ 75 = 8.66 (64と81の間で、75-64=11、8の魔法の数字6に11掛けて66) = だいたい8.66 (合ってる)
 √ 81 = 9
 √ 84 = 9.16 (81と100の間で、84-81=3、9の魔法の数字5に3掛けて15) = だいたい 9.15 (本当は9.16)
 √ 91 = 9.53 (81と100の間で、91-81=10、9の魔法の数字5に10掛けて50) = だいたい9.50 (本当は9.53)
 √ 96 = 9.79 (81と100の間で、96-81=15、9の魔法の数字5に15掛けて75) = だいたい9.75 (本当は9.79)
 √ 99 = 9.94 (81と100の間で、99-81=18、9の魔法の数字5に18掛けて90) = だいたい9.90 (本当は9.94)
 √ 100=10 だぜ☆」


「 ここで、√49 と √51 は、ざっくり √50 ということにしようぜ☆?
 もう1回 数を眺めてみよう☆

 √  0 = 0
 √  1 = 1
 √  4 = 2
 √  9 = 3
 √ 16 = 4
 √ 19 = 4.35
 √ 25 = 5
 √ 36 = 6
 √ 50 = 7.07106
 √ 64 = 8
 √ 75 = 8.66025
 √ 81 = 9
 √ 84 = 9.16
 √ 91 = 9.53
 √ 96 = 9.79
 √ 99 = 9.94
 √ 100=10 だぜ☆」


「 どこかで 見たことのある数字が 出てきているのでは ないだろうか☆?」


「 数字なんか 覚えてない!」





「 √3/2 は 0.866025 だぜ☆」


「 10倍 ずれてるじゃない」


「 そりゃ 75の平方根 より、 3の平方根を2で割ったもの は 小さい ぜ☆
 べつに、÷2 じゃなくて ×5 にしてくれたら、
 つまり √3×5 にしてくれたら 8.66025 になるんで わたしのと一致する☆」


「 三角比は 0~1 のスケールに収めたいんで、×5 じゃなくて ÷2 にしてるんだぜ☆」


「 ×5 とか、 ÷2 って何なのよ!」




2 と 5 の秘密☆(^~^)



「 さくらまる に教えてもらったんだが、 2 × 5 は 10 なんだぜ☆」


「 知 っ て る わ ー よ ー !」


「 そして 10 を 5 で割れば 2 で割り切れるし、
 10 を 2 で割れば 5 で割り切れる☆」


「 2 × 5 = 10 だから 自明 な の よ ~ ~ ~ ~!」


「 ここで順番なんだが、10 を 2 で割って 5 にしてから、残った 5 を 5 で割ると ちょうどいい感じなんだぜ☆
 もし 先に 10 を 5 で割って 2 にしてから、残った 2 を 2 で割っても、べつに 嬉しくないだろ☆」





「 10の倍数に居るときに ÷2 すれば 半分になるのは 自明だけど、
 半分地点から 10の倍数に戻るために ÷5 してるのは なんか すっきりしないわねぇ」


「 ÷2÷5形、×5×2形 は同じだが、  5、    10、  50、   100、 500、 1000 … みたいな進み方をする☆
 ÷5÷2形、 ×2×5形 は同じだが、  3.16、 10、  31.6、 100、 316、 1000 … みたいな進み方をする☆
 途中の 踊り場が違うだけで 好きな方を選べだぜ☆」


「 何を言ってんのか 分からないわね」


「 図に まとめようぜ☆ 50円コースを経由するやつと、20円コースを経由するやつがいる☆」



100円コース     | 実数          |      20円コース×5  |     200円コース÷2  |       50円コース×2  |      500円コース÷5 

 √10000     =100          = √400       ×5  = √40000     ÷2  = √2500       ×2  = √250000     ÷5 
 √ 8100     = 90          = √324       ×5  = √32400     ÷2  = √2025       ×2  = √202500     ÷5 
 √ 6400     = 80          = √256       ×5  = √25600     ÷2  = √1600       ×2  = √160000     ÷5 
 √ 5600     = 70          = √196       ×5  = √19600     ÷2  = √1225       ×2  = √122500     ÷5 
 √ 3600     = 60          = √144       ×5  = √14400     ÷2  = √ 900       ×2  = √ 90000     ÷5 
 √ 2500     = 50          = √100       ×5  = √10000     ÷2  = √ 625       ×2  = √ 62500     ÷5 
 √ 1600     = 40          = √ 64       ×5  = √ 6400     ÷2  = √ 400       ×2  = √ 40000     ÷5 
 √  900     = 30          = √ 36       ×5  = √ 3600     ÷2  = √ 225       ×2  = √ 22500     ÷5 
 √  400     = 20          = √ 16       ×5  = √ 1600     ÷2  = √ 100       ×2  = √ 10000     ÷5 
 √  100     = 10          = √  4       ×5  = √  400     ÷2  = √  25       ×2  = √  2500     ÷5 

 √  100     = 10          = √  4       ×5  = √  400     ÷2  = √  25.00    ×2  = √  2500     ÷5 
 √   81     =  9          = √  3.24    ×5  = √  324     ÷2  = √  20.25    ×2  = √  2025     ÷5 
 √   64     =  8          = √  2.56    ×5  = √  256     ÷2  = √  16.00    ×2  = √  1600     ÷5 
 √   56     =  7          = √  1.96    ×5  = √  196     ÷2  = √  12.25    ×2  = √  1225     ÷5 
 √   36     =  6          = √  1.44    ×5  = √  144     ÷2  = √   9.00    ×2  = √   900     ÷5 
 √   25     =  5          = √  1.00    ×5  = √  100     ÷2  = √   6.25    ×2  = √   625     ÷5 
 √   16     =  4          = √  0.64    ×5  = √   64     ÷2  = √   4.00    ×2  = √   400     ÷5 
 √    9     =  3          = √  0.36    ×5  = √   36     ÷2  = √   2.25    ×2  = √   225     ÷5 
 √    4     =  2          = √  0.16    ×5  = √   16     ÷2  = √   1.00    ×2  = √   100     ÷5 
 √    1     =  1          = √  0.04    ×5  = √    4     ÷2  = √    .25    ×2  = √    25     ÷5 

 √    1     =  1          = √  0.04    ×5  = √    4     ÷2  = √   0.25    ×2  = √    25     ÷5 
 √    0.81  =  0.9        = √  0.0324  ×5  = √    3.24  ÷2  = √   0.2025  ×2  = √    20.25  ÷5 
 √    0.64  =  0.8        = √  0.0256  ×5  = √    2.56  ÷2  = √   0.1600  ×2  = √    16.00  ÷5 
 √    0.56  =  0.7        = √  0.0196  ×5  = √    1.96  ÷2  = √   0.1225  ×2  = √    12.25  ÷5 
 √    0.36  =  0.6        = √  0.0144  ×5  = √    1.44  ÷2  = √   0.0900  ×2  = √     9.00  ÷5 
 √    0.25  =  0.5        = √  0.0100  ×5  = √    1.00  ÷2  = √   0.0625  ×2  = √     6.25  ÷5 
 √    0.16  =  0.4        = √  0.0064  ×5  = √    0.64  ÷2  = √   0.0400  ×2  = √     4.00  ÷5 
 √    0.09  =  0.3        = √  0.0036  ×5  = √    0.36  ÷2  = √   0.0225  ×2  = √     2.25  ÷5 
 √    0.04  =  0.2        = √  0.0016  ×5  = √    0.16  ÷2  = √   0.0100  ×2  = √     1.00  ÷5 
 √    0.01  =  0.1        = √  0.0004  ×5  = √    0.04  ÷2  = √   0.0025  ×2  = √     0.25  ÷5 

 √ 1000     = 31.62277    = √ 40       ×5  = √ 4000     ÷2  = √ 250.0     ×2  = √ 25000     ÷5 
 √  810     = 28.46049    = √ 32.4     ×5  = √ 3240     ÷2  = √ 202.5     ×2  = √ 20250     ÷5 
 √  640     = 25.29822    = √ 25.6     ×5  = √ 2560     ÷2  = √ 160.0     ×2  = √ 16000     ÷5 
 √  560     = 23.66431    = √ 19.6     ×5  = √ 1960     ÷2  = √ 122.5     ×2  = √ 12250     ÷5 
 √  360     = 18.97366    = √ 14.4     ×5  = √ 1440     ÷2  = √  90.0     ×2  = √  9000     ÷5 
 √  250     = 15.81138    = √ 10.0     ×5  = √ 1000     ÷2  = √  62.5     ×2  = √  6250     ÷5 
 √  160     = 12.64911    = √  6.4     ×5  = √  640     ÷2  = √  40.0     ×2  = √  4000     ÷5 
 √   90     =  9.486832   = √  3.6     ×5  = √  360     ÷2  = √  22.5     ×2  = √  2250     ÷5 
 √   40     =  6.324555   = √  1.6     ×5  = √  160     ÷2  = √  10.0     ×2  = √  1000     ÷5 
 √   10     =  3.162277   = √  0.4     ×5  = √   40     ÷2  = √   2.5     ×2  = √   250     ÷5 

 √   10     =  3.162277   = √  4       ×5  = √  400     ÷2  = √  25       ×2  = √  2500     ÷5 
 √    8.1   =  2.846049   = √  3.24    ×5  = √  324     ÷2  = √  20.25    ×2  = √  2025     ÷5 
 √    6.4   =  2.529822   = √  2.56    ×5  = √  256     ÷2  = √  16.00    ×2  = √  1600     ÷5 
 √    5.6   =  2.366431   = √  1.96    ×5  = √  196     ÷2  = √  12.25    ×2  = √  1225     ÷5 
 √    3.6   =  1.897366   = √  1.44    ×5  = √  144     ÷2  = √   9.00    ×2  = √   900     ÷5 
 √    2.5   =  1.581138   = √  1.00    ×5  = √  100     ÷2  = √   6.25    ×2  = √   625     ÷5 
 √    1.6   =  1.264911   = √  0.64    ×5  = √   64     ÷2  = √   4.00    ×2  = √   400     ÷5 
 √    0.9   =  0.9486832  = √  0.36    ×5  = √   36     ÷2  = √   2.25    ×2  = √   225     ÷5 
 √    0.4   =  0.6324555  = √  0.16    ×5  = √   16     ÷2  = √   1       ×2  = √   100     ÷5 
 √    0.1   =  0.3162277  = √  0.04    ×5  = √    4     ÷2  = √   0.25    ×2  = √    25     ÷5 


 √10000     =100          = √400       ×5  = √40000     ÷2  = √2500       ×2  = √250000     ÷5 
 √ 9000     = 94.86832    = √360       ×5  = √36000     ÷2  = √2250       ×2  = √225000     ÷5 
 √ 8000     = 89.44271    = √320       ×5  = √32000     ÷2  = √2000       ×2  = √200000     ÷5 
 √ 7000     = 83.66600    = √280       ×5  = √28000     ÷2  = √1750       ×2  = √175000     ÷5 
 √ 6000     = 77.45966    = √240       ×5  = √24000     ÷2  = √1500       ×2  = √150000     ÷5 
 √ 5000     = 70.71067    = √200       ×5  = √20000     ÷2  = √1250       ×2  = √125000     ÷5 
 √ 4000     = 63.24555    = √160       ×5  = √16000     ÷2  = √1000       ×2  = √100000     ÷5 
 √ 3000     = 54.77225    = √120       ×5  = √12000     ÷2  = √ 750       ×2  = √ 75000     ÷5 
 √ 2000     = 44.72135    = √ 80       ×5  = √ 8000     ÷2  = √ 500       ×2  = √ 50000     ÷5 
 √ 1000     = 31.62277    = √ 40       ×5  = √ 4000     ÷2  = √ 250       ×2  = √ 25000     ÷5 

 √  100     = 10          = √  4       ×5  = √  400     ÷2  = √  25       ×2  = √  2500     ÷5 
 √   90     =  9.486832   = √  3.6     ×5  = √  360     ÷2  = √  22.5     ×2  = √  2250     ÷5 
 √   80     =  8.944271   = √  3.2     ×5  = √  320     ÷2  = √  20.0     ×2  = √  2000     ÷5 
 √   70     =  8.366600   = √  2.8     ×5  = √  280     ÷2  = √  17.5     ×2  = √  1750     ÷5 
 √   60     =  7.745966   = √  2.4     ×5  = √  240     ÷2  = √  15.0     ×2  = √  1500     ÷5 
 √   50     =  7.071067   = √  2.0     ×5  = √  200     ÷2  = √  12.5     ×2  = √  1250     ÷5 
 √   40     =  6.324555   = √  1.6     ×5  = √  160     ÷2  = √  10.0     ×2  = √  1000     ÷5 
 √   30     =  5.477225   = √  1.2     ×5  = √  120     ÷2  = √   7.5     ×2  = √   750     ÷5 
 √   20     =  4.472135   = √  0.8     ×5  = √   80     ÷2  = √   5.0     ×2  = √   500     ÷5 
 √   10     =  3.162277   = √  0.4     ×5  = √   40     ÷2  = √   2.5     ×2  = √   250     ÷5 

 √ 1000     = 31.62277    = √ 40       ×5  = √ 4000     ÷2  = √ 250       ×2  = √ 25000     ÷5 
 √  900     = 30          = √ 36       ×5  = √ 3600     ÷2  = √ 225       ×2  = √ 22500     ÷5 
 √  800     = 28.28427    = √ 32       ×5  = √ 3200     ÷2  = √ 200       ×2  = √ 20000     ÷5 
 √  700     = 26.45751    = √ 28       ×5  = √ 2800     ÷2  = √ 175       ×2  = √ 17500     ÷5 
 √  600     = 24.49489    = √ 24       ×5  = √ 2400     ÷2  = √ 150       ×2  = √ 15000     ÷5 
 √  500     = 22.36067    = √ 20       ×5  = √ 2000     ÷2  = √ 125       ×2  = √ 12500     ÷5 
 √  400     = 20          = √ 16       ×5  = √ 1600     ÷2  = √ 100       ×2  = √ 10000     ÷5 
 √  300     = 17.32050    = √ 12       ×5  = √ 1200     ÷2  = √  75       ×2  = √  7500     ÷5 
 √  200     = 14.14213    = √  8       ×5  = √  800     ÷2  = √  50       ×2  = √  5000     ÷5 
 √  100     = 10          = √  4       ×5  = √  400     ÷2  = √  25       ×2  = √  2500     ÷5 

 √   10     =  3.162277   = √  0.40    ×5  = √   40     ÷2  = √   2.50    ×2  = √   250     ÷5 
 √    9     =  3          = √  0.36    ×5  = √   36     ÷2  = √   2.25    ×2  = √   225     ÷5 
 √    8     =  2.828427   = √  0.32    ×5  = √   32     ÷2  = √   2.00    ×2  = √   200     ÷5 
 √    7     =  2.645751   = √  0.28    ×5  = √   28     ÷2  = √   1.75    ×2  = √   175     ÷5 
 √    6     =  2.449489   = √  0.24    ×5  = √   24     ÷2  = √   1.50    ×2  = √   150     ÷5 
 √    5     =  2.236067   = √  0.20    ×5  = √   20     ÷2  = √   1.25    ×2  = √   125     ÷5 
 √    4     =  2          = √  0.16    ×5  = √   16     ÷2  = √   1.00    ×2  = √   100     ÷5 
 √    3     =  1.732050   = √  0.12    ×5  = √   12     ÷2  = √   0.75    ×2  = √    75     ÷5 
 √    2     =  1.414213   = √  0.08    ×5  = √    8     ÷2  = √   0.50    ×2  = √    50     ÷5 
 √    1     =  1          = √  0.04    ×5  = √    4     ÷2  = √   0.25    ×2  = √    25     ÷5 

 √    0.1   =  0.3162277  = √  0.004   ×5  = √    0.40  ÷2  = √   0.250   ×2  = √     2.50  ÷5 
 √    0.09  =  0.3        = √  0.0036  ×5  = √    0.36  ÷2  = √   0.225   ×2  = √     2.25  ÷5 
 √    0.08  =  0.2828427  = √  0.0032  ×5  = √    0.32  ÷2  = √   0.200   ×2  = √     2.00  ÷5 
 √    0.07  =  0.2645751  = √  0.0028  ×5  = √    0.28  ÷2  = √   0.175   ×2  = √     1.75  ÷5 
 √    0.06  =  0.2449489  = √  0.0024  ×5  = √    0.24  ÷2  = √   0.150   ×2  = √     1.50  ÷5 
 √    0.05  =  0.2236067  = √  0.0020  ×5  = √    0.20  ÷2  = √   0.125   ×2  = √     1.25  ÷5 
 √    0.04  =  0.2        = √  0.0016  ×5  = √    0.16  ÷2  = √   0.100   ×2  = √     1.00  ÷5 
 √    0.03  =  0.1732050  = √  0.0012  ×5  = √    0.12  ÷2  = √   0.075   ×2  = √     0.75  ÷5 
 √    0.02  =  0.1414213  = √  0.0008  ×5  = √    0.08  ÷2  = √   0.050   ×2  = √     0.50  ÷5 
 √    0.01  =  0.1        = √  0.0004  ×5  = √    0.04  ÷2  = √   0.025   ×2  = √     0.25  ÷5 


 √   40     =  6.324555   = √  1.6     ×5  = √  160     ÷2  = √  10       ×2  = √  1000     ÷5 
 √   36     =  6          = √  1.44    ×5  = √  144     ÷2  = √   9       ×2  = √   900     ÷5 
 √   32     =  5.656854   = √  1.28    ×5  = √  128     ÷2  = √   8       ×2  = √   800     ÷5 
 √   28     =  5.291502   = √  1.12    ×5  = √  112     ÷2  = √   7       ×2  = √   700     ÷5 
 √   24     =  4.898979   = √  0.96    ×5  = √   96     ÷2  = √   6       ×2  = √   600     ÷5 
 √   20     =  4.472135   = √  0.80    ×5  = √   80     ÷2  = √   5       ×2  = √   500     ÷5 
 √   16     =  4          = √  0.64    ×5  = √   64     ÷2  = √   4       ×2  = √   400     ÷5 
 √   12     =  3.464101   = √  0.48    ×5  = √   48     ÷2  = √   3       ×2  = √   300     ÷5 
 √    8     =  2.828427   = √  0.32    ×5  = √   32     ÷2  = √   2       ×2  = √   200     ÷5 
 √    4     =  2          = √  0.16    ×5  = √   16     ÷2  = √   1       ×2  = √   100     ÷5 

 √ 6250     = 79.056941   = √250       ×5  = √25000     ÷2  = √1562.50    ×2  = √156250     ÷5 
 √ 5625     = 75          = √225       ×5  = √22500     ÷2  = √1406.25    ×2  = √140625     ÷5 
 √ 5000     = 70.710678   = √200       ×5  = √20000     ÷2  = √1250.00    ×2  = √125000     ÷5 
 √ 4375     = 66.143782   = √175       ×5  = √17500     ÷2  = √1093.75    ×2  = √109375     ÷5 
 √ 3750     = 61.237243   = √150       ×5  = √15000     ÷2  = √ 937.50    ×2  = √ 93750     ÷5 
 √ 3125     = 55.901699   = √125       ×5  = √12500     ÷2  = √ 781.25    ×2  = √ 78125     ÷5 
 √ 2500     = 50          = √100       ×5  = √10000     ÷2  = √ 625.00    ×2  = √ 62500     ÷5 
 √ 1875     = 43.301270   = √ 75       ×5  = √ 7500     ÷2  = √ 468.75    ×2  = √ 46875     ÷5 
 √ 1250     = 35.355339   = √ 50       ×5  = √ 5000     ÷2  = √ 312.50    ×2  = √ 31250     ÷5 
 √  625     = 25          = √ 25       ×5  = √ 2500     ÷2  = √ 156.25    ×2  = √ 15625     ÷5 

 √  250     = 15.811388   = √ 10       ×5  = √ 1000     ÷2  = √  62.50    ×2  = √  6250     ÷5 
 √  225     = 15          = √  9       ×5  = √  900     ÷2  = √  56.25    ×2  = √  5625     ÷5 
 √  200     = 14.142135   = √  8       ×5  = √  800     ÷2  = √  50.00    ×2  = √  5000     ÷5 
 √  175     = 13.228756   = √  7       ×5  = √  700     ÷2  = √  43.75    ×2  = √  4375     ÷5 
 √  150     = 12.247448   = √  6       ×5  = √  600     ÷2  = √  37.50    ×2  = √  3750     ÷5 
 √  125     = 11.180339   = √  5       ×5  = √  500     ÷2  = √  31.25    ×2  = √  3125     ÷5 
 √  100     = 10          = √  4       ×5  = √  400     ÷2  = √  25.00    ×2  = √  2500     ÷5 
 √   75     =  8.660254   = √  3       ×5  = √  300     ÷2  = √  18.75    ×2  = √  1875     ÷5 
 √   50     =  7.071067   = √  2       ×5  = √  200     ÷2  = √  12.50    ×2  = √  1250     ÷5 
 √   25     =  5          = √  1       ×5  = √  100     ÷2  = √   6.25    ×2  = √   625     ÷5 

 √    2.50  =  1.5811388  = √  0.10    ×5  = √   10     ÷2  = √   0.6250  ×2  = √    62.50  ÷5 
 √    2.25  =  1.5        = √  0.09    ×5  = √    9     ÷2  = √   0.5625  ×2  = √    56.25  ÷5 
 √    2.00  =  1.4142135  = √  0.08    ×5  = √    8     ÷2  = √   0.5000  ×2  = √    50.00  ÷5 
 √    1.75  =  1.3228756  = √  0.07    ×5  = √    7     ÷2  = √   0.4375  ×2  = √    43.75  ÷5 
 √    1.50  =  1.2247448  = √  0.06    ×5  = √    6     ÷2  = √   0.3750  ×2  = √    37.50  ÷5 
 √    1.25  =  1.1180339  = √  0.05    ×5  = √    5     ÷2  = √   0.3125  ×2  = √    31.25  ÷5 
 √    1.00  =  1          = √  0.04    ×5  = √    4     ÷2  = √   0.2500  ×2  = √    25.00  ÷5 
 √    0.75  =  0.8660254  = √  0.03    ×5  = √    3     ÷2  = √   0.1875  ×2  = √    18.75  ÷5 
 √    0.50  =  0.7071067  = √  0.02    ×5  = √    2     ÷2  = √   0.1250  ×2  = √    12.50  ÷5 
 √    0.25  =  0.5        = √  0.01    ×5  = √    1     ÷2  = √   0.0625  ×2  = √     6.25  ÷5 

 √   10     =  3.162277   = √  0.4     ×5  = √   40     ÷2  = √   2.50    ×2  = √   250     ÷5 
 √    7.5   =  2.738612   = √  0.3     ×5  = √   30     ÷2  = √   1.875   ×2  = √   187.5   ÷5 
 √    5     =  2.236067   = √  0.2     ×5  = √   20     ÷2  = √   1.25    ×2  = √   125     ÷5 
 √    2.5   =  1.581138   = √  0.1     ×5  = √   10     ÷2  = √   0.625   ×2  = √    62.5   ÷5 



「 50円コースと、3.16コースは 別べつなものなの? それとも 同じものなの?」


「 昔の 床屋の くるくる看板 のように 2本の線が ある意味 平行に 渦を巻いていると思う☆」





「 うーむ、ぜんぜん まとまらん☆」





「 なんてこった☆!」


















寄り道: 以下の文章は、しばらく説明のしかたを考え中☆(^~^)



「 で、分母の2 とか、分子のルートは何なのかというと、
 わたしは 式の展開を視覚化して 九九の表の対角線の 1×1、2×2、3×3……を眺めていたら
 100升を100分率に見立てられることに気づき 1:99、 4:96、 9:91……といったように見えてきて
 空っぽの瓶に 水を注いで 水が入っているところと 入っていないところ という想像で 分母の2とか分子のルート を見つけたが、
 もっとまじめにやると ピタゴラスの定理から出てくる☆」




「 そこで動画を 前に作ったんだが、分けわからん と言われるので また今度説明する☆」


「 お父んは 数学の国語力が 皆無だからな☆」


「 ルートって、正方形の1辺よね。 ルートが出てくる数式ということは、正方形があるんでしょ」


「 動画を見ての通り 正方形は 3つあるぜ☆」


「 1辺を なんで 2で割るの?」


「 前提知識として、2で割るのも 50を掛けるのも 100倍変わるだけで 形は同じになるということを知っておいて欲しい☆
 例えば 6÷2=3 だし、 6×50=300 だぜ☆
 長い桁の数でやるとわかりやすい☆ 12345÷2=6172.5 だし、12345×50=617250 だろ☆」


「 そうなのね」


「 ÷2したあとは ÷50、 ×2したあとは ×50 をするというルールにしろだぜ☆
 これで 元の形に合流する☆」


「 そのほかに、数の世界には 10倍の筋 と、 100倍の筋 の2つがあり、筋違いの筋 になっているぜ☆
 例えば 10×10=100、 100×100=10000 で、これは100倍の筋だが、
 100倍の筋は 10(十)とか、1000(千)とは出会わない☆」


「 そうなのね」


「 10の代わりに、31.622776 を掛けることで 100倍とは筋違いの筋に行ける☆
 3.162277 × 3.162277 = 9.999995…で だいたい 10 だし、
 31.622776 × 31.622776 = 999.999961… で だいたい 1000 だぜ☆


「 フーン」


「 もっと 事前知識を説明する☆ まず45°の場合☆
 ピタゴラスの定理を ざっくり a+b=c としよう☆
 で、c を 100に固定する。 aとbは一辺の長さが同じ正方形☆
 50+50=100 にしたいわけだぜ☆
 7×7 は49 だろ☆ 49が2つあっても 98 で 100には足りない☆
 つまり 49+49=98 なんだぜ☆」


「じゃあ 2つの数を掛けて 50になる数字は何かというと 0.7071067811…
 0.7071067811 × 0.7071067811 = 0.499999 だぜ☆
 この 0.7071067811 はどこから出てきたかというと √2/2、 つまり sin 45° であり、 cos 45° だぜ☆
 ここで、分母の2がどこから出てきたか、という話しだろ☆」


「多分、筋を変えないといけないんだぜ☆
 このあたり 説明がうまく思いつかない☆」


「 その前に 残りの2つも説明する☆ 30°の場合☆
 ピタゴラスの定理を ざっくり a+b=c としよう☆
 で、c を 100に固定する。 aとbは一辺の長さが同じ正方形☆
 25+75=100 にしたいわけだぜ☆
 5×5 は25 でいい感じだが、 8×8も 9×9も 75 には遠い☆
 8.6602540378 × 8.6602540378 なら、74.999999 でいい感じだぜ☆」


「 この 8.6602540378 はどこから出てきたかというと √3/2 を10倍したものだぜ☆
 つまり sin 60° であり、 cos 30° だぜ☆
 なんで 10倍しているのかというと、
 sin 30°も、 cos 60°も 0.5 だったことを思い出してほしい☆ これでは 5×5=25 ではなく
 0.5×0.5 = 0.25 になってしまう☆
 説明しづらいが、円が関係するこのあたりは なんか ぐるぐると回転して大きくなるような、こんな感じになっている☆
 桁なんか関係なくて、永遠に同じことを繰り返しながら大きくなっていく宇宙がある☆」


「 そこを もう少しがんばって なんとか説明しなさいよ!」


「 永遠にでかくなっていくが、なんか 同じ形をしてるんだぜ☆」


「 お父んは 数学の国語力が 皆無だからな☆」


「 2で割るのも、50を掛けるのも 100から見れば スケールが違うだけで なんか細かなことが同じなんだぜ☆」


「 わかった、わかった☆ 読者が混乱するから黙れ☆ 次の話しに行こうぜ☆」


「 25は 4分の1で、 75は 4分の3 だということにも関係がある☆」





「 こういうのが永遠に続いている☆」


「 わかった、わかった☆ 寝ろ☆」








2. 続きはまだ書きかけ☆(^~^)









「 で、タンジェントの仕組みだが☆」





「 ここで エジプト人がよく持っている ウアスの杖 があるとしよう☆」


「 神か 神権の支配者しか持ってないわよ そんなもん!」





「 まあ、ただの棒なんだがな☆ 1m とする☆」


「 ウアスの杖のさきっちょには 動物の頭の飾りが付いているのよね」





「 わたしたちのタンジェントは さきっちょに 棒 が付いている☆」





「 そして 垂直に伸びていることが約束されている☆ 角度は必ず90°だぜ☆」





「 もう少し細かいことを言うなら、タンジェントは Tの字のように両方に出ているのではなく、
Lの字のように片側だけだぜ☆」


「 …………」





「 この棒を反対の方に 出っ張らせると コタンジェント(Cotangent) だぜ☆」


「 ……………………」


「 タンジェントと コタンジェントの何が違うんだぜ☆? 向きだけか☆?」





「 宇宙は、地面と、高さ でできていて、地面の方から伸びてるのは タンジェント、
 高さのような説明しにくい方から伸びてるのは 頭に コ(Co)が付くんだぜ☆

 もっと単純に 90°反時計回りしたら 頭に Co を付けろだぜ☆
 y軸の方にいるやつが Co だぜ、分かれ☆」





「 だから正確には 赤い棒のさきっちょから x軸 まで伸びてるのが タンジェント で☆」





「 赤い棒のさきっちょから y軸 まで伸びてるのが コタンジェント だぜ☆」


「 現実のどこに x軸とか y軸 があるんだぜ☆?」


「 現実のどこにもない☆ 数学の宇宙に 現実の方を 持ってこいだぜ☆」







「 赤い棒と呼ぶのも可哀そうだから レディアス(radius)と呼ぼうぜ☆」













━━━━━━━━━ここから下はかきかけ━━━━━━━━━━━━━━━


「 ブログ記事 データが消し飛んだんで、手元に残っている画像データを使って 少しずつ 書き直していくぜ☆」





「 場所を示すときに、横軸と縦軸、専門的に言うと x、y で示すものと☆」





「 偏角と距離、つまり向いてる方向と長さだな、専門的に言うと argとradius、これで示すものがあるだろ☆」


「 これを仮に 四角の世界、円の世界と呼ぶとしよう☆
 嫌だというやつは デカルト座標と 極座標 とでも呼べだぜ☆」


「 デカルト座標の1点を、極座標で言い直したり、
 極座標の1点を デカルト座標で言い直したいときもあるだろう☆」


「 四角の世界と、円の世界を 行ったり来たりするのに使うのが 三角関数だぜ☆」





「 radiusというのは この赤い棒☆ 半径だぜ☆」





「 肩から棒の先までの長さを 1 としよう☆」





「 ぐるぐる回すと 半径が1の円を描く☆」





「 水平、つまり偏角を0°にしたら、赤い棒のさきっちょは x=1、y=0 だし☆」





「 垂直、つまり偏角を90°にしたら、赤い棒のさきっちょは x=0、y=1 だぜ☆」





「 偏角が45°なら、xとyは何になるだろうか☆ radiusが 1 なのは分かるが☆」


「 もちろん計算方法は有り、x=約0.707、y=約0.707になる☆
 電卓叩きたければ Google で『sin 45 deg』と入れて見ろだぜ☆
 このように 円の世界を 四角の世界で表したり、その逆をするのに 三角関数を使う☆」


「 覚えて欲しいのは12個☆」








「 まずは6個覚えてもらおう☆」


「 sの字書いたり、cの字書いたり、tの字書いたりして暗記してもいいが、わたしは体操にして覚えた☆
 三角関数って何なのか、その全体像のような、もっと大きなものを 意味にあった暗記の方法で伝える予定だぜ☆」




















「 頭に co と付いているのは 反時計回りに90°進んだものと考えれば、
 暗記するのは sine、tangent、secantの3つだな☆」


どこのことを言ってるのか覚えろだぜ☆









「 どこに sine があるのか、tangent、secantはどこなのか
 分かってくるまで やろう☆」





「 sine は要するに立ってるから y、 だから cosine は90°倒れて寝てるんで x ☆
 tangentは Tの字 のように、赤い棒のさきっちょに垂直にくっついている☆
 secantは x軸、y軸に沿ってると思えだぜ☆」





「 tangentを もう少し詳しくやろう☆
 棒のさきっちょに垂直に 電灯をくっつけたイメージだぜ☆」








「 tangentと、cotangentだぜ☆ 赤い棒のさきっちょに垂直にくっついている☆
 tangentの画像全体を90°倒したら cotangentになるだろ☆」


「 続きはまた今度だぜ☆」