記事更新日： 2018年07月15日
積分
せきぶん
- What is integral?
世界で一番わかりやすい
積分
インテグラル
の解説をするぜ☆
- I will explain the integral most easily in the world.
目次
- Table of contents.
0. 本題に入る前に☆
- Before I start talking.
1. まずは箱でやろうぜ☆
- Let's start with a box first.
2. もっと箱でやろうぜ☆
- Let's start with a box more.
3. その先を想像しようぜ☆
- Let's imagine the future.
戻る - back
0. 本題に入る前に☆
- Before I start talking.
積分を知っている人たちから、何の話しをしているのか分からない
と 称賛を受けているぜ☆
いつものことじゃないか☆
あんたの 積分の理解が 間違ってんじゃないの？
じゃあ、 理解を間違えた子の積分 の開幕だぜ☆
時速 20ｋｍ で走っている自転車があるとしよう☆
10時には 40km、 11時には 60km、 12時には 80km 地点にいるぜ☆
進んだ地点をグラフにすると こんな感じ☆
等速直線運動よね～
スピードアップも、スピードダウンもしてないよな☆
そんな風に、 自転車で ピターッと時速 20ｋｍ で走っていて、
加速も 減速も しなかったときが Y = 0 のグラフだぜ☆
安定感が あるわね～
じゃあ、 12分 走ったごとに 時速１ｍ だけ速くしよう、
と 断続的に 加速 し続けたら こんなグラフになるな☆
うざっ！
スピードは ぐーんと 上がっているぜ☆
がっくん がっくん がっくん……
がっくん がっくん がっくん を減らすには、
１回で上げるスピードを半分にして、上げる回数を２倍にしろだぜ☆
もっと うざっ！
がっくん がっくん がっくん は減っただろ☆
がく がく がく がく がく……
これを突き詰めていくと、 微小量 を 連続した時間全てに 敷き詰めれば……☆
泡の多いビールだな☆ 泡しかないじゃないか☆
がくん がくん してない、
連続した 線になるだろ☆
微小量とか、連続した時間って なんなのよ！
計算の都合という観点に立てば、 微小量 や 連続した時間 というのは
連続した線を作るための 言い換え に過ぎない☆
自然数(Nature.)だと １番小さな数は １ と はっきりしてるが、
実数(Real.)だと １番小さな数 は 分かんないだろ☆
実数のグラフの タテ幅の１番細かいところを 微小量、
実数のグラフの ヨコ幅の１番小さなところを 微小な時間 ぐらいに思えだぜ☆
でも実数は 永遠に拡大していけるからな☆
微小 という言葉には 永遠という意味合いも含まれている☆
連続してるわね～
重要なのは、拡大していったら突然 がっくん がっくん がっくん しだしたりしない、ということだぜ☆
がっくん がっくん がっくん したら、拡大したら、 指を指したところが 線が無いところだったり してしまうからな☆
連続してないわね～
横軸の時間を ほそ～い目 で見て、タテ幅のずれ を並べれば
上図のようになるだろ☆
微分ね～
横軸の時間を ほそ～い目 で見て、タテ幅のずれ を 足していけば
上図のようになるだろ☆
積分ね～
そして、ずれが 0 だったら 積分しても 0 なんだぜ☆
dy という微小量は、 0 ではないんだぜ☆ 何その数字☆？
横幅の微小量 dx がないと存在しない数が dy なのよ
そんなもん計算できんの？
ものすごく でかい数で 割るだけよ
どれぐらい でかい数 だったらいいんだぜ☆？
永遠に増え続けさせた でかい数 がいいんだけど、
そんなん作れないから、
ざっくり 横幅を 0 にしたものとして、代数的に計算すればいいのよ。
そんなことしていいのかだぜ☆？
いいのよ！
話しの途中だが、序章は あとで書き足すぜ☆
次から 何の話をしているのか分からない本題 な☆
戻る - back
1. まずは箱でやろうぜ☆
- Let's start with a box first.
ニンゲンの目ん玉は３次元まで見れると思うんで、ぜいたくに ３次元を使って解説する。
それより 外に行って遊びましょうよ！ いい天気なのよ！
お父んは 頭の中が 家の外だからな☆
幅が 1 の立方体を、x, y, z それぞれの軸に１個置けだぜ☆
原点に接したところに置くと ３つぶつかってしまうので、
１つ離して置くのが、インテグラルのコツだぜ☆
そんな置き方していいの？
みんな無自覚に こう置いている☆ わたしには見える☆
見えなくていいのに……☆
絵は ３次元 だが、インテグラルの話し をしているときは
実際に 計算したいのは ２次元の話し だと思ってくれだぜ☆
インテグラルは １次元 サバを読んでいるのかだぜ☆
隙間を開けてしまったので、なるべく立方体になるように 埋めようぜ☆
ｘの箱は ｙ軸に沿って上へ☆
ｙの箱は ｚ軸に沿って奥へ☆
ｚの箱は ｘ軸に沿って右へ 進めるのが ぶつからないぜ☆
逆回りでもいいのに！
おや？ これだと ６ボクセル は埋まったが、
立方体にするには、 ２ボクセル が 埋まらないぜ☆？
どうすんだぜ☆？
３で割り切れないからな☆ 空いたままにしておく☆
この空いたボクセルを みんな
Ｃ
シー
と呼ぶので Ｃ と呼べだぜ☆
積分定数Ｃ を ボクセルと思ってる人は いないと思うわよ。
何考えて Ｃ を使ってるんだろな☆？
何も考えなくても 使えるのがいいのよ！
色違いの箱の数は どれも同じなので、まずは どれか １種類だけ 箱の数を数えろだぜ☆
xの3乗 からは、 2個の同色のカラーボックスが取れるな☆
２＾３ ÷ ３ 端数切捨て じゃない。
絵に描かなくても 分かるのよ！
数とは 比 なのだった☆
１種類の色のカラーボックスの数と、
対角線を除いた 立方体のボクセルの数の比は……、必ず ３ になるはずだが、
幅が１つ小さいキューブを その ３ で割ったものが
積分
インテグラル
だぜ☆ ただし☆
ただし って誰だぜ☆？
例外のケースがある☆ セットにして覚えろだぜ☆
例外は早くも X=2 のケースで起こる☆
x=1 と何が違うのか説明しよう☆
隙間を埋めるのは おんなじ だぜ☆
ｘの箱は ｙ軸に沿って上へ☆
ｙの箱は ｚ軸に沿って奥へ☆
ｚの箱は ｘ軸に沿って右へ 進めるのが ぶつからないぜ☆
そんなイメージ できないのよ！
さきっちょも 少し折り返してるし！
エレガントな空間の埋め方だろ☆
すると ぴったり 対角線 のところに
隙間ができる、
と思っていた……☆ これが わたしの錯覚 だったんだぜ☆
３色で ぴったり 割り振れるじゃないか☆
絵なんか 描いてるから 見落とすのよ！
数とは 比 なのだった☆
１種類の色のカラーボックスの数と、
対角線を除いた 立方体のボクセルの数の比は……、必ず ３ になるはずだが、
幅が１つ小さいキューブを その ３ で割ったものが
積分
インテグラル
だぜ☆
言ってることは さっきと同じじゃない。
対角線が 割り切れる ときだけ
分配することを忘れるなだぜ☆
誰も 対角線なんか 数えてないわよ。
……☆
まだ続くからな☆
戻る - back
2. もっと箱でやろうぜ☆
- Let's start with a box more.
こっから先が 面白いんだぜ☆
次は x = 3 な☆
ただし 原点に接するところは １つ 開けて
実質 x = 4 の立方体を作ろうとしている図だぜ☆
x = 2 でも x = 3 でも x^3/3 なんでしょ！
何が面白いってーのよ！
軍隊のパレードと同じだぜ☆
機械のように 統一した動きには …… いや、
ニンゲンの目に見えてないだけで いろんなものは エレガント な動きの上に 組み合わさっている☆
お見せしよう☆
4 × 4 の立方体を、３色のブロックで 充填 しようとした図だぜ☆
３色のブロックは まったく同じ形をしている☆
なんで 穴ぼこ が ぼこぼこ 空いているのよ！
対角線 は 空いているんだぜ☆
これ、積分定数Ｃ☆
１０ボクセル は、カラーブロックの色数 ３ で割り切れないから、どの色のものでもないぜ☆
対角線って何なんだぜ☆？
これが立方体だが☆、
対角線は ４本 あるだろ☆
ちょっと変わってるのは、１辺が偶数のときは 中心は原点より遠くの方のブロックが選ばれるところだぜ☆
ちょっと変わってるどころか、何の話をしているのか
わからないのよ！
積分って こんな 自然数でできたブロックじゃないのよ！
対角線は避けて、
３色の カラーブロックが 充填 している☆
感覚的に ざっくり言うと、
立方体は 六面体だから、３面 で割れるんだぜ、
対角線上のボクセル数 だけ隙間を空ければ☆
割らなくていいのに……☆
まとめると、
Xの２乗を考えているときは、 １個前のキューブのボックス数を ÷３ したのが積分☆
X が 3 のときのキューブを積分すると ぴったり ９☆
穴ぼこのブロックが 計算に からんでないじゃないのよ！
まだ続くぜ☆
戻る - back
3. その先を想像しようぜ☆
- Let's imagine the future.
ほんとは X = 4、 X = 5 の絵も 描きたかったんだが、
１枚描くのに ４時間ぐらい かかってるんで休みが飛んでしまう☆
飛ばして行きましょう。
ここから先、立方体の横幅が 偶数から奇数になるときは、
対角線上のボクセルは ７つ 増える☆
奇数から偶数になるときは、 １つ 増える☆
箱が２個の次は ３ だったのに、
３の次は １０ になって だいぶ増えたな、というのは、＋１ と ＋７ が交互にくるからだぜ☆
これも絵で説明できる☆
絵を描くのがめんどくさくなって 手抜きをしたが、
まさに この取って付けたような 奥の方の７ と 手前の１ が真実だぜ☆
手抜きを すんな☆！
筆算すると合っている☆
分かりづら！
